L'integrale è un operarore lineare che assegnato ad una funzione integrabile, detta funzione integranda, da come risultato un insieme di primitive. È l'operazione inversa alla derivazione di una funzione.
Una primitiva di una funzione f(x) è una qualunque funzione derivabile F(X) che se derivata coincide con la funzione assegnata F'(x)=f(x).
Sia f una funzione integrabile, si chiama integrale indefinito di una funzione f(x) l'insieme di tutte le sue primitive F(x)+c .
Si parla di famiglia di primitive poiché ogni funzione integranda può essere la derivata di infinite funzioni.
ES:
Considerando f(x) una funzione continua nell'intervallo [a, b], si chiama trapezoide la figura piana mistilinea delimitata dal grafico di f(x), dall'asse delle ascisse e dalle rette parallele perpendicolari all'asse x passanti per i punti a e b. L'integrale definito è un numero reale e corrisponde all'area del trapezzoide.
Il calcolo dell'area viene effettuato con la somma delle aree dei plurirettangoli inscritti e circoscritti che compongono il trapezoide. All'aumentare dei rettangoli l'area diviene più precisa. Con infiniti rettangoli si ha il valore esatto e i plurirettangoli inscritti e circoscritti hanno la stessa area.
Data una funzione f(x) continua e positiva in un intervallo, si chiama integrale definito esteso all’intervallo [a,b] , il valore comune del limite per n→+∞ delle due successioni per difetto, e per eccesso. Tale valore viene indicato con : 
Il numero a si dice estremo inferiore, il numero b estremo superiore .
La funzione f(x) è detta funzione integranda.
Gli Integrali Impropri, che possono essere di tre specie, hanno o un estremo dell'intervallo infinito, oppure hanno all'interno dell'intervallo punti non appartenenti al dominio della funzione.
Negli Integrali Impropri di prima specie uno degli estremi è infinito;
Negli Integrali Impropri di seconda specie uno degli estremi di integrazione è un punto di discontinuità della funzione;
Negli Integrali Impropri di terza specie uno o più punti nell'intervallo di integrazione è un punto di discontinuità.
In tutti e tre i casi si deve fare uso del limite per calcolare il valore, quando possibile, del punto indefinito.
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